支持一个信念需要多少证据?

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《理性:从人工智能到僵尸 – 地图与真实的土地 – 第三部分:注意困惑 – 支持一个信念需要多少证据?》

我曾将证据定义为“与一个信念有因果纠缠关系的事件。”将纠缠定义为“随目标状态的变化而变化”。那么我们需要多少纠缠——多少证据——来支持一个信念呢?

让我们从一个简单的数学问题开始:中彩票有多难?假设有70个球,拿走后不放回,6个号码相同即中奖。那么共有131,115,985(C706)种可能的组合,因此任意一张彩票会有1/131,115,985(0.0000007%)的可能性中奖。如果想要中奖,你就需要足够强的证据来支持131,115,985种组合中的某一种。

假设你可以做些测试,从概率上来区分某个组合是否为中奖号码。譬如,你可以向一个黑盒子里输入一种组合:如果中奖了,这个盒子就会嘟嘟响;如果没中奖,它只有1/4(25%)的概率会响。用贝叶斯的术语来讲,我们可以说似然比为4:1——也就是说,这个盒子中奖时响的可能性是不中奖时响的4倍。

即便如此,还是有很多可能的组合。如果你输入了20个错误的组合,按照概率,盒子平均会响五次。如果你把131,115,985种可能全部输进去,除了中奖的那种组合一定会响之外,平均而言,盒子还是会错误地响起32,778,996次。

尽管这个盒子不会让你中奖,但有总比没有好。如果你用这个盒子,你的中奖几率就从1/131,115,985提高到了1/32,778,997。尽管概率空间依然很大,你已经在寻求真实的道路上取得了一些成就。

假设你可以用另一个黑盒子再进行一次独立测试。两个盒子在碰到正确的组合时,肯定都会响。但是每个盒子错误响起的概率为1/4,且互相独立;因此,两个盒子都会错误响起的概率为1/16。我们可以说,两次独立测试累积证据的似然比为16:1。平均来说,可以通过两次测试的错误组合会是8,194,749种。

既然一共有131,115,985种可能的组合,你可能会猜想,你需要的证据要强到约为131,115,985:1——也就是说,一个事件,或者一系列事件,在中奖时发生的可能性是不中奖时的131,115,985倍。事实上,这种强度的证据也只够给你50%的中奖概率。为什么?因为如果你以这种效率筛选13亿种错误的组合,那么平均来讲,只有一个错误的组合能通过筛选,而中奖的组合也能。因此你面前有两个组合,其中一个是对的。如果你只能买一张彩票的话,中奖的概率就是50%。

换一个更好的视角来审视这个问题:一开始,只有1张中奖彩票和131,115,984张不能中奖的彩票,因此你的中奖几率为1:131,115,984。如果你只用一个黑匣子,它在中奖和不中奖的情况响起的概率分别为1和0.25,那么我们用1:131,115,984乘以1:0.25,就可以得到1:32,778,996。再加一个盒子提供的证据,再乘一次1:0.25,那么现在就是1张中奖彩票和8,194,749张不能中奖的彩票。

用位(bits)来量化证据很方便——不是硬盘里的比特(bits),而是数学里的比特(bits),它们是不同的概念。数学的比特是概率以1/2为底的对数。譬如,如果有四种可能的结果A、B、C、D,出现的概率分别为50%、25%、12.5%、12.5%,然后我告诉你最终的结果是D,那么我传达给你了三个比特的信息,因为这个结果出现的概率为1/8。

131,115,984正好比2的27次方稍微小一点。如果有14个盒子,或者说28比特的证据——这个证据证明某张彩票中奖和不中奖的似然比为268,435,456:1——于是将似然比从1:131,115,984变成了268,435,456:131,115,984,也就(差不多)是2:1。2:1的几率意味着每输一次就能赢两次,因此在28比特的证据的情况下,中奖概率为2/3。再加一个盒子,也就是两位的证据,似然比就变成了8:1。再加两个盒子似然比就变成了128:1。

所以,如果你想有足够强的中奖信念——这里我们姑且定义为小于1%的错误概率——34位元的证据就可以了。

一般来说,要衡量“需要多少证据来支持一个信念”,需要遵循一个简单的规则:某个假设所在的概率空间越大,或者和其他假设比起来更不可能是先验正确的,或者要求的置信区间越准确,那么你需要的证据就越多。

你无法违背这个规则;你无法基于不充分的证据形成准确的信念。比如说你用了10个盒子,然后把不同的彩票号码输入这些盒子里。你不能在碰到第一个让10个盒子都响的组合时就说,“对于一个错误的组合,这件事发生的概率为百万分之一!我要无视那些象牙塔中的贝叶斯规则,就此停手。”平均来讲,有131张错误的彩票会通过筛选,你基于不完全的证据跳到了一个太强的结论。这不是没有意义的官僚主义规定——这是数学。

当然,如果你心血来潮,你还是可以根据不充分的证据确立信念;只是你没办法准确地相信。这就像是你开着一辆没有燃料的汽车,就因为你不相信“需要燃料才能到达目的地”的那些傻不拉叽的陈词滥调。只要我们废除“汽车需要燃料”的这一规律,一切都会变得有趣得多,也便宜得多。那不是显然对所有人都有利吗?好吧,如果你心血来潮,不妨试试。你甚至可以闭上双眼假装汽车在移动。但是,想真的抵达准确的信念,你就需要证据作为燃料,而且想去得越远,需要的燃料就越多。


翻译:糖颗颗
校对:yzhaobk

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