《理性：从人工智能到僵尸 – 地图与真实的土地 – 第三部分：注意困惑 – 支持一个信念需要多少证据？》
我曾将证据定义为“与一个信念有因果纠缠关系的事件。”将纠缠定义为“随目标状态的变化而变化”。那么我们需要多少纠缠——多少证据——来支持一个信念呢？
让我们从一个简单的数学问题开始：中彩票有多难？假设有70个球，拿走后不放回，6个号码相同即中奖。那么共有131,115,985（C706）种可能的组合，因此任意一张彩票会有1/131,115,985（0.0000007%）的可能性中奖。如果想要中奖，你就需要足够强的证据来支持131,115,985种组合中的某一种。
假设你可以做些测试，从概率上来区分某个组合是否为中奖号码。譬如，你可以向一个黑盒子里输入一种组合：如果中奖了，这个盒子就会嘟嘟响；如果没中奖，它只有1/4（25%）的概率会响。用贝叶斯的术语来讲，我们可以说似然比为4：1——也就是说，这个盒子中奖时响的可能性是不中奖时响的4倍。
即便如此，还是有很多可能的组合。如果你输入了20个错误的组合，按照概率，盒子平均会响五次。如果你把131,115,985种可能全部输进去，除了中奖的那种组合一定会响之外，平均而言，盒子还是会错误地响起32,778,996次。
尽管这个盒子不会让你中奖，但有总比没有好。如果你用这个盒子，你的中奖几率就从1/131,115,985提高到了1/32,778,997。尽管概率空间依然很大，你已经在寻求真实的道路上取得了一些成就。
假设你可以用另一个黑盒子再进行一次独立测试。两个盒子在碰到正确的组合时，肯定都会响。但是每个盒子错误响起的概率为1/4，且互相独立；因此，两个盒子都会错误响起的概率为1/16。我们可以说，两次独立测试累积证据的似然比为16：1。平均来说，可以通过两次测试的错误组合会是8,194,749种。
既然一共有131,115,985种可能的组合，你可能会猜想，你需要的证据要强到约为131,115,985：1——也就是说，一个事件，或者一系列事件，在中奖时发生的可能性是不中奖时的131,115,985倍。事实上，这种强度的证据也只够给你50%的中奖概率。为什么？因为如果你以这种效率筛选13亿种错误的组合，那么平均来讲，只有一个错误的组合能通过筛选，而中奖的组合也能。因此你面前有两个组合，其中一个是对的。如果你只能买一张彩票的话，中奖的概率就是50%。
换一个更好的视角来审视这个问题：一开始，只有1张中奖彩票和131,115,984张不能中奖的彩票，因此你的中奖几率为1：131,115,984。如果你只用一个黑匣子，它在中奖和不中奖的情况响起的概率分别为1和0.25，那么我们用1：131,115,984乘以1：0.25，就可以得到1：32,778,996。再加一个盒子提供的证据，再乘一次1：0.25，那么现在就是1张中奖彩票和8,194,749张不能中奖的彩票。
用位（bits）来量化证据很方便——不是硬盘里的比特（bits），而是数学里的比特（bits），它们是不同的概念。数学的比特是概率以1/2为底的对数。譬如，如果有四种可能的结果A、B、C、D，出现的概率分别为50%、25%、12.5%、12.5%，然后我告诉你最终的结果是D，那么我传达给你了三个比特的信息，因为这个结果出现的概率为1/8。
131,115,984正好比2的27次方稍微小一点。如果有14个盒子，或者说28比特的证据——这个证据证明某张彩票中奖和不中奖的似然比为268,435,456：1——于是将似然比从1：131,115,984变成了268,435,456：131,115,984，也就（差不多）是2：1。2：1的几率意味着每输一次就能赢两次，因此在28比特的证据的情况下，中奖概率为2/3。再加一个盒子，也就是两位的证据，似然比就变成了8：1。再加两个盒子似然比就变成了128：1。
所以，如果你想有足够强的中奖信念——这里我们姑且定义为小于1%的错误概率——34位元的证据就可以了。
一般来说，要衡量“需要多少证据来支持一个信念”，需要遵循一个简单的规则：某个假说所在的概率空间越大，或者和其他假说比起来更不可能是先验正确的，或者要求的置信区间越准确，那么你需要的证据就越多。
你无法违背这个规则；你无法基于不充分的证据形成准确的信念。比如说你用了10个盒子，然后把不同的彩票号码输入这些盒子里。你不能在碰到第一个让10个盒子都响的组合时就说，“对于一个错误的组合，这件事发生的概率为百万分之一！我要无视那些象牙塔中的贝叶斯规则，就此停手。”平均来讲，有131张错误的彩票会通过筛选，你基于不完全的证据跳到了一个太强的结论。这不是没有意义的官僚主义规定——这是数学。
当然，如果你心血来潮，你还是可以根据不充分的证据确立信念；只是你没办法准确地相信。这就像是你开着一辆没有燃料的汽车，就因为你不相信“需要燃料才能到达目的地”的那些傻不拉叽的陈词滥调。只要我们废除“汽车需要燃料”的这一规律，一切都会变得有趣得多，也便宜得多。那不是显然对所有人都有利吗？好吧，如果你心血来潮，不妨试试。你甚至可以闭上双眼假装汽车在移动。但是，想真的抵达准确的信念，你就需要证据作为燃料，而且想去得越远，需要的燃料就越多。
翻译：糖颗颗
校对：yzhaobk